Решение системы линейных уравнений
При помощи рассмотренного ранее инструмента Поиск решения можно также легко решать системы линейных равнений.
Системой n линейных уравнений с m неизвестными называется система вида:
где: aij и bi (i = 1, … , m; b = 1, … , n) – некоторые известные числа, x1, … , xn – неизвестные.
В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй индекс j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Коэффициенты при неизвестных часто записывают в виде матрицы, которая называется матрицей системы:
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1, … , bm называются свободными членами.
Совокупность n чисел c1, … , cn называется решением данной системы уравнений, если каждое уравнение обращается в равенство после подстановки в него чисел c1, … , cn вместо соответствующих неизвестных x1, … , xn.
Наша задача найти решение системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
- Система может иметь единственное решение.
- Система может иметь бесконечное множество решений.
- И третий случай, когда система вообще не имеет решения.
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
Существуют различные способы нахождения решений системы:
- Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- Метод Крамера.
- Метод Гаусса.
Создадим новый метод решения системы линейных уравнений, используя инструмент Поиск решения.
В качестве примера рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:
Коэффициенты при неизвестных и свободные члены запишем в виде таблицы:
В ячейках A7:C7 находятся будущие корни системы уравнений. Сначала присвоим им нулевые значения:
В ячейку D2 запишем формулу для вычисления свободного члена первого уравнения =СУММПРОИЗВ($A$7:$C$7;A2:C2). Эта функция перемножает соответствующие элементы заданных массивов одинаковой размерности и возвращает сумму произведений. Затем сделаем автозаполнение формулы для двух других ячеек в столбце D:
Вот так выглядят наши таблички в режиме значений:
Наша задача добиться попарного совпадения значений в соседних ячейках столбцов D и E, изменяя значения в ячейках A7:C7. Для этого будем использовать Поиск решения (на вкладке Данные → в группе Анализ → кнопка Поиск решения):
В диалоговом окне Поиск решения устанавливаем следующие параметры:
- Установить целевую ячейку: тут должно быть пусто (стираем все значения, если они там были).
- Равной: значению: 0.
- Изменяя ячейки: $A$7:$C$7 (подбираем корни системы уравнений).
- Ограничения: $D$2:$D$4=$E$2:$E$4.
Нажимаем кнопку Выполнить:
Оставляем пункт Сохранить найденное решение → кнопка OK.
Теперь в ячейках A7, B7 и С7 будут записаны точные значения корней системы уравнений:
В противном случае в окне Результаты поиска решения получим сообщение Поиск не может найти подходящего решения:
